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西方行列式的发展:结语(The Development of

连结:西方行列式的发展:柯西的研究

行列式在西方萌芽后,在数学家们辛勤地浇灌、耕耘下,历经了100多年,终于成熟。为行列式发展做出的数学家很多,〈西方行列式的发展〉系列文章只挑选了其中几位作简要的介绍,其他未写到的数学家如拉格朗日 (Joseph Lagrange, 1736-1813)、拉普拉斯 (Pierre-Simon marquis de Laplace, 1749-1827)、比内 (Jacques Philippe Marie Binet, 1786-1856)、雅可比 (Carl Gustav Jacob Jacobi, 1804-1851)、凯莱 (Arthur Cayley, 1821-1895)、西尔维斯特 (James Joseph Sylvester, 1814-1897)……等等,都对20世纪之前的行列式发展,做出了不可抹灭的贡献。

从历史的发展,我们很清楚地看到,西方的行列式发展是从一次方程组求解开始的,数学家们发现用係数来表示方程组的解时,是有规律可循的。为了表示这规律,数学家们提出了不同的方式。

以三元一次方程组 \(\left\{ \begin{array}{l} {a_{1}}x + {b_{1}}y + {c_{1}}z = {d_{1}}\\ {a_{2}}x + {b_{2}}y + {c_{2}}z = {d_{2}}\\ {a_{3}}x + {b_{3}}y + {c_{3}}z = {d_{3}} \end{array} \right.\)为例,克拉玛利用 \(a_ib_jc_k\) 下标的排列与逆序数来表示其规律(参阅本网站〈克拉玛公式(2):克拉玛的公式〉一文);贝祖将 \(abc\) 与 \(-bac\) 的 \(c\) 不断地往前移动一个位置,并每移动一个位置就要改变一次性质符号(参阅本网站〈西方行列式的发展:贝祖的研究〉一文);范德蒙与柯西则以其独特的方式来定义行列式(参阅本网站〈西方行列式的发展:范德蒙的研究〉与〈西方行列式的发展:柯西的研究〉)。

就在追寻规律表达式的过程中,行列式的概念、符号,慢慢地成为今日的模样。

然而,在今日的高中课堂中,行列式以抽象符号及展开式呈现在学生面前,略去了历史发展脉络,也难以激起学生的学习动机。比方说,对于二阶行列式 \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ c&d \end{array}} \right|\) 的性质推演,学生常常感到不耐,总觉得直接乘开,\(ad-bc\),一切清清楚楚,何必大费周章。

又例如大多数学生初接触到三阶行列式及其展开式

\(\begin{array}{ll}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{1}}}&{{a_{2}}}&{{a_{3}}}\\ {{b_{1}}}&{{b_{2}}}&{{b_{3}}}\\ {{c_{1}}}&{{c_{2}}}&{{c_{3}}} \end{array}} \right| &=\cdots\cdots \\&= {a_{1}}{b_{2}}{c_{3}} + {a_{2}}{b_{3}}{c_{1}} + {a_{3}}{b_{1}}{c_{2}} – {a_{3}}{b_{2}}{c_{1}} – {a_{2}}{b_{1}}{c_{3}} – {a_{1}}{b_{3}}{c_{2}}\end{array}\)

时,其表情是狐疑的,甚至是嫌恶的,彷彿在告诉老师说:「为什幺要规定这幺奇怪的运算规则?」历史的发展是从上述等式的最右边发展到最左边的,先有了行列式展开后的式子,过了100多年后,才有今日行列式的符号。

然而,今日教材的呈现,常常是反其道而行的,从等号的最左边走到等号的最右边。这方向一反,不但抹去了人类100多年来的心血成果,更严重的是扼杀了学生对行列式的好奇心。行列式对学生来说,只是一种规定的计算法则,背下来就对了!然而,讽刺的是,最值得记的,总是不在学生脑海中。笔者最喜欢玩的把戏之一,就是给一个四阶行列式(不在高中课程之内)要学生展开,大多数的学生会毫不迟疑地将记得的三阶行列式展开法,即图一与图二的方法,套用在四阶行列式上,然后得到只有8项的展开式,而且完全不会感觉到有任何不妥的地方!(应该要有24项)

西方行列式的发展:结语(The Development of

图一与图二代表的是三阶行列式的一种记忆法或速算法,在时间有限的纸笔测验中,常常是最有效率的解题手段,这也是它们最大的优点。但若撇开计算速度,它们相较于克拉玛或贝祖的方法,不仅无趣,更不能推广到高阶的行列式。倘若能在课堂中引入克拉玛或贝祖的方法,甚至是范德蒙或柯西的方式,不仅能开拓学生的眼界,更能降低行列式符号的神祕感,帮助学生掌握行列式的概念与符号。

行列式从解联立方程组而来,逐渐变成一个独立的数学概念与符号,然后再应用到不同的领域之中,例如几何、向量、矩阵,最后再被纳入线性代数的架构之中。笔者这系列文章只概略地描绘了前段的发展历史,至于后来应用的精彩篇章,就留待以后有机会再作介绍了。


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